Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm ${A(1; 2; 3)}$, ${B(1;-2; 5)}$. Phương trình của mặt cầu đi qua 2 điểm ${A}$, ${B}$ và có tâm thuộc trục $Oy$ là
A. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-22=0}$.
B. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-26=0}$.
C. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}-4y-22=0}$.
D. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}-4y-26=0}$.
A. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-22=0}$.
B. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-26=0}$.
C. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}-4y-22=0}$.
D. ${x^{2}+y^{2}+z^{2}-4y-26=0}$.
Vì mặt cầu có tâm thuộc trục $Oy$ nên gọi tâm mặt cầu là $I\left( 0 ; a ; 0 \right)$ với $a\in \mathbb{R}$.
Ta tính được $\overrightarrow{IA}=\left( 1 ; 2-a ; 3 \right)$, $\overrightarrow{IB}=(1 ; -2-a ; 5)$.
Ta có : $IA=IB\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{1}^{2}}+{{(2-a)}^{2}}+{{3}^{2}}={{1}^{2}}+{{(-2-a)}^{2}}+{{5}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+14={{a}^{2}}+4a+30\Leftrightarrow a=-2$.
Do đó $I\left( 0 ; -2 ; 0 \right)$.
Lúc đó bán kính mặt cầu là : ${R=IA=\sqrt{1^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{26}}$.
Ta có mặt cầu đã cho có tâm $I\left( 0 ; -2 ; 0 \right)$ và có bán kính $R=\sqrt{26}$ nên phương trình mặt cầu là: ${{x}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}={{(\sqrt{26})}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4y-22=0$.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4y-22=0$.
Ta tính được $\overrightarrow{IA}=\left( 1 ; 2-a ; 3 \right)$, $\overrightarrow{IB}=(1 ; -2-a ; 5)$.
Ta có : $IA=IB\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{1}^{2}}+{{(2-a)}^{2}}+{{3}^{2}}={{1}^{2}}+{{(-2-a)}^{2}}+{{5}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+14={{a}^{2}}+4a+30\Leftrightarrow a=-2$.
Do đó $I\left( 0 ; -2 ; 0 \right)$.
Lúc đó bán kính mặt cầu là : ${R=IA=\sqrt{1^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{26}}$.
Ta có mặt cầu đã cho có tâm $I\left( 0 ; -2 ; 0 \right)$ và có bán kính $R=\sqrt{26}$ nên phương trình mặt cầu là: ${{x}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}={{(\sqrt{26})}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4y-22=0$.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4y-22=0$.
Đáp án A.