Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt phẳng tọa độ $\left( xOy \right)$ với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=41$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua các điểm $A\left( 0;0;12 \right)$, $B\left( 0;4;8 \right)$. Với $M,N$ là các điểm thay đổi thứ tự trên $\left( C \right)$ và $d$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $MN$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. $3,5$.
B. $2,35$.
C. $1,25$.
D. $2,92$.
Phưong trình $(C):(x-6)^{2}+(y-6)^{2}=32$ với tâm $I(6 ; 6)$ và bán kính $R=4 \sqrt{2}$.
Gọi $F=(d)\cap Oy,IK\bot Oy,D=IK\cap (C),G=IF\cap (C),ML\bot Oy$. Như vậy để $MN$ đạt giá trị nhỏ nhẩt thì $M$ phải thuộc cung nhỏ $\overset\frown{DG}$.
Kẻ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
KH\bot (d):NL\bot (d) \\
LK=x \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{NL}{KH}=\dfrac{FL}{FK} \\
KH=d(K:(d))=3\sqrt{2} \\
\end{array}\Rightarrow NL=KH\dfrac{6-x}{6}=\dfrac{6-x}{\sqrt{2}} \right. \right.$
$LM=6-\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I;(ML))}=6-\sqrt{32-K{{L}^{2}}}=6-\sqrt{32-{{x}^{2}}}$
$M N=\sqrt{M L^{2}+L N^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{6-x}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(6-\sqrt{32-x^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{(6-x)^{2}}{2}+\left(6-\sqrt{32-x^{2}}\right)^{2}}=f(x)$
Xét hàm số $y=f(x)=\sqrt{\dfrac{{{(6-x)}^{2}}}{2}+{{\left( 6-\sqrt{32-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}, \forall x\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$.
$\begin{aligned}
& {f}'(x)=0\Leftrightarrow 12x-(x+6)\sqrt{32-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x={{x}_{0}}\approx 3,5145\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
& \Rightarrow \min f(x)=f(3,5145)\approx 2,35488 \\
\end{aligned}$
A. $3,5$.
B. $2,35$.
C. $1,25$.
D. $2,92$.
Gọi $F=(d)\cap Oy,IK\bot Oy,D=IK\cap (C),G=IF\cap (C),ML\bot Oy$. Như vậy để $MN$ đạt giá trị nhỏ nhẩt thì $M$ phải thuộc cung nhỏ $\overset\frown{DG}$.
Kẻ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
KH\bot (d):NL\bot (d) \\
LK=x \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{NL}{KH}=\dfrac{FL}{FK} \\
KH=d(K:(d))=3\sqrt{2} \\
\end{array}\Rightarrow NL=KH\dfrac{6-x}{6}=\dfrac{6-x}{\sqrt{2}} \right. \right.$
$LM=6-\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I;(ML))}=6-\sqrt{32-K{{L}^{2}}}=6-\sqrt{32-{{x}^{2}}}$
$M N=\sqrt{M L^{2}+L N^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{6-x}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(6-\sqrt{32-x^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{(6-x)^{2}}{2}+\left(6-\sqrt{32-x^{2}}\right)^{2}}=f(x)$
Xét hàm số $y=f(x)=\sqrt{\dfrac{{{(6-x)}^{2}}}{2}+{{\left( 6-\sqrt{32-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}, \forall x\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$.
$\begin{aligned}
& {f}'(x)=0\Leftrightarrow 12x-(x+6)\sqrt{32-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x={{x}_{0}}\approx 3,5145\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
& \Rightarrow \min f(x)=f(3,5145)\approx 2,35488 \\
\end{aligned}$
Đáp án B.