Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-m}{2}$ và mặt c $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$.Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt $E$, $F$ sao cho độ dài đoạn $EF$ lớn nhất
A. $m=1$.
B. $m=0$.
C. $m=-\dfrac{1}{3}$.
D. $m=\dfrac{1}{3}$.
A. $m=1$.
B. $m=0$.
C. $m=-\dfrac{1}{3}$.
D. $m=\dfrac{1}{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;2 \right)$ và bán kính $R=3$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $d$, khi đó $H$ là trung điểm đoạn $EF$.
Ta có $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}$. Suy ra $EF$ lớn nhất khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất
Đường thẳng $d$ qua $A\left( 1;-1;m \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 0;2;2-m \right)$, $ \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=\left( 2+m;2-m;-2 \right)$.
Suy ra $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{1+1+4}}\ge \sqrt{2}$.
Do đó $d\left( I,\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất khi $m=0$. Khi đó $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $d$, khi đó $H$ là trung điểm đoạn $EF$.
Ta có $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}$. Suy ra $EF$ lớn nhất khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất
Đường thẳng $d$ qua $A\left( 1;-1;m \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 0;2;2-m \right)$, $ \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right]=\left( 2+m;2-m;-2 \right)$.
Suy ra $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{1+1+4}}\ge \sqrt{2}$.
Do đó $d\left( I,\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất khi $m=0$. Khi đó $EF=2EH=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d\left( I,\left( P \right) \right) \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}$.
Đáp án B.