Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{4}$ và mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ phân biệt cùng chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại $M$ và $N$. Đường thẳng $MN$ có một vectơ chỉ phương là
A. $\left( 3;2;-1 \right)$.
B. $\left( 2;0;-1 \right)$.
C. $\left( 1;-2;-1 \right)$.
D. $\left( 3;2;1 \right)$.
A. $\left( 3;2;-1 \right)$.
B. $\left( 2;0;-1 \right)$.
C. $\left( 1;-2;-1 \right)$.
D. $\left( 3;2;1 \right)$.
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ; 2 ; 1)$ và $R=\sqrt{2}$. Gọi $K=(I M N) \cap d$ như hình vẽ
Ta có $I M \perp(P)$ suy ra $I M \perp d$ (1).
Mặt khác ta có $I N \perp(Q)$ suy ra $I N \perp d$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $d \perp(I M N)$.
Từ đó suy ra $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d$. Ta có $K(2 ; 0 ; 0)$.
Ta cũng có $\left\{\begin{array}{l}d \perp M N \\ I K \perp M N\end{array}\right.$ suy ra $\vec{u}_{M N}=\left[\vec{u}_{d} ; \overrightarrow{I K}\right]=(9 ; 6 ;-3)=3 \vec{v}$, với $\vec{v}(3 ; 2 ;-1)$.
Ta có $I M \perp(P)$ suy ra $I M \perp d$ (1).
Mặt khác ta có $I N \perp(Q)$ suy ra $I N \perp d$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $d \perp(I M N)$.
Từ đó suy ra $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d$. Ta có $K(2 ; 0 ; 0)$.
Ta cũng có $\left\{\begin{array}{l}d \perp M N \\ I K \perp M N\end{array}\right.$ suy ra $\vec{u}_{M N}=\left[\vec{u}_{d} ; \overrightarrow{I K}\right]=(9 ; 6 ;-3)=3 \vec{v}$, với $\vec{v}(3 ; 2 ;-1)$.
Đáp án A.