Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$. Lấy điểm $M\left( a; b; c \right)$ với $a<0$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA$, $MB$, $MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ( $A,B,C$ là tiếp điểm) thỏa mãn góc $\widehat{AMB}=60{}^\circ $, $\widehat{BMC}=90{}^\circ $, $\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Tổng $a+b+c$ bằng
A. $-2$.
B. $2$.
C. $\dfrac{10}{3}$.
D. $1$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Gọi $MA=MB=MC=m$.
Tam giác $MAB$ đều $\Rightarrow AB=m$.
Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M\Rightarrow BC=m\sqrt{2}$.
Tam giác $MAC$ cân tại $M , \widehat{CMA}=120{}^\circ \Rightarrow AC=m\sqrt{3}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, suy ra, $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Vì $MA=MB=MC , IA=IB=IC$ nên $M , H , I$ thẳng hàng .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác $MAI$ vuông tại $A,$ ta nhận được $MI=\dfrac{AI}{\sin {{60}^{{}^\circ }}}=6.$
$M\in d\Rightarrow M\left( t-1;t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
$I{{M}^{2}}=36\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;1 \right) \left( t/m \right) \\
& t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3} \right) \left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2$.
A. $-2$.
B. $2$.
C. $\dfrac{10}{3}$.
D. $1$.
Gọi $MA=MB=MC=m$.
Tam giác $MAB$ đều $\Rightarrow AB=m$.
Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M\Rightarrow BC=m\sqrt{2}$.
Tam giác $MAC$ cân tại $M , \widehat{CMA}=120{}^\circ \Rightarrow AC=m\sqrt{3}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, suy ra, $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Vì $MA=MB=MC , IA=IB=IC$ nên $M , H , I$ thẳng hàng .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác $MAI$ vuông tại $A,$ ta nhận được $MI=\dfrac{AI}{\sin {{60}^{{}^\circ }}}=6.$
$M\in d\Rightarrow M\left( t-1;t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
$I{{M}^{2}}=36\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;1 \right) \left( t/m \right) \\
& t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3} \right) \left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2$.
Đáp án A.