Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y-z+3=0$. Đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với $\left( \Delta \right)$ có phương trình là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-2t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-2t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng cần tìm
Gọi $A\left( t;-1+2t;1+t \right)=\left( d \right)\cap \left( \Delta \right)$
Theo đề $A\in \left( P \right)\Leftrightarrow t-2\left( -1+2t \right)-\left( 1+t \right)+3=0\Leftrightarrow t+2-4t-1-t+3=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $A\left( 1;1;2 \right)$
Đường thẳng $\Delta $ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;-1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;2;-4 \right)$
Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u}=\dfrac{-1}{2}\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;-1;2 \right)$
Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;1;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 0;-1;2 \right)$ làm véc-tơ chỉ phương có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $A\left( t;-1+2t;1+t \right)=\left( d \right)\cap \left( \Delta \right)$
Theo đề $A\in \left( P \right)\Leftrightarrow t-2\left( -1+2t \right)-\left( 1+t \right)+3=0\Leftrightarrow t+2-4t-1-t+3=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $A\left( 1;1;2 \right)$
Đường thẳng $\Delta $ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;-1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;2;-4 \right)$
Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u}=\dfrac{-1}{2}\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;-1;2 \right)$
Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;1;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 0;-1;2 \right)$ làm véc-tơ chỉ phương có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.