Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-3=0.$ Gọi...

Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm $I\in \Delta $ theo tham số $t.$
- Tính khoảng cách từ $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0;d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
- Tính độ dài đoạn thẳng $IH:IH=\sqrt{{{\left( {{x}_{H}}-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{H}}-{{y}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{H}}-{{z}_{I}} \right)}^{2}}}.$
- Giải phương trình $d\left( I;\left( P \right) \right)=IH=R$ tìm $t,$ từ đó suy ra tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$.
- Mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),$ bán kính $R$ có phương trình ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$
Cách giải:
Vì $I\in \Delta :\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ nên ta gọi $I\left( 1-2t;2t;2+t \right).$
Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right):2x-y+z-3=0$ tại điểm $H\left( 1;-1;0 \right)$ nên ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=IH=R.$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.\left( 1-2t \right)-2t+2+t-3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -1-2t \right)}^{2}}+{{\left( -2-t \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| -5t+1 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{9{{t}^{2}}+8t+5}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 25{{t}^{2}}-10t+1=54{{t}^{2}}+48t+30 \\
& \Leftrightarrow 29{{t}^{2}}+58t+29=0 \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0 \\
& \Leftrightarrow t=-1 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow I\left( 3;-2;1 \right)$ và $R=IH=\sqrt{6}.$
Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6.$