Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ${{d}: \dfrac{{x}+1}{1}=\dfrac{{y}}{1}=\dfrac{{Z}-1}{2}}$ và mặt phẳng ${({P}): 2 {x}+{y}-{z}+3=0}$. Hình chiếu vuông góc của ${{d}}$ trên ${({P})}$ là đường thẳng có phương trình
A. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z-1}{13}.$
B. $\dfrac{\text{x+1}}{\text{3}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{-5}}\text{=}\dfrac{\text{z-1}}{\text{1}}.$
C. $\dfrac{\text{x-1}}{\text{3}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{-5}}\text{=}\dfrac{\text{z+1}}{\text{1}}.$
D. $\dfrac{\text{x-1}}{\text{4}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{5}}\text{=}\dfrac{\text{z+1}}{\text{13}}\text{. }$
A. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z-1}{13}.$
B. $\dfrac{\text{x+1}}{\text{3}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{-5}}\text{=}\dfrac{\text{z-1}}{\text{1}}.$
C. $\dfrac{\text{x-1}}{\text{3}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{-5}}\text{=}\dfrac{\text{z+1}}{\text{1}}.$
D. $\dfrac{\text{x-1}}{\text{4}}\text{=}\dfrac{\text{y}}{\text{5}}\text{=}\dfrac{\text{z+1}}{\text{13}}\text{. }$
Đường thẳng ${{d}}$ qua điểm ${{A}(-1 ; 0 ; 1)}$ và có véc-tơ chỉ phương ${\overrightarrow{{u}}_{{d}}=(1 ; 1 ; 2)}$.
Mặt phẳng ${({P})}$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{{n}}_{{P})}=(2 ; 1 ;-1)}$.
Gọi ${(Q)}$ là mặt phẳng chứa ${{d}}$ và vuông góc với ${({P})}$, khi đó ${({Q})}$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{{n}}_{({Q})}=\left[\overrightarrow{{u}}_{{d}}, \overrightarrow{{n}}({P})\right]=(-3 ; 5 ;-1)}$
Gọi ${\Delta}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${({P})}$ và ${({Q})}$ suy ra ${\Delta}$ là hình chiếu của ${{d}}$ trên ${({P})}$.
Khi đó ${\Delta}$ có một véc-tơ chỉ phương là ${\left.\overrightarrow{{u}}=\left[\overrightarrow{{n}}_{{P}}\right), \overrightarrow{{n}}({Q})\right]=(4 ; 5 ; 13)}$.
Ta có ${{A} \in {d} \subset({Q}) \Rightarrow {A} \in({Q})}$ và dễ thấy tọa độ ${{A}}$ thỏa phương trình ${({P}) \Rightarrow {A} \in({P})}$.Do đó ${{A} \in \Delta .}$
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta}$ là ${\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z-1}{13}}$.
Mặt phẳng ${({P})}$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{{n}}_{{P})}=(2 ; 1 ;-1)}$.
Gọi ${(Q)}$ là mặt phẳng chứa ${{d}}$ và vuông góc với ${({P})}$, khi đó ${({Q})}$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{{n}}_{({Q})}=\left[\overrightarrow{{u}}_{{d}}, \overrightarrow{{n}}({P})\right]=(-3 ; 5 ;-1)}$
Gọi ${\Delta}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${({P})}$ và ${({Q})}$ suy ra ${\Delta}$ là hình chiếu của ${{d}}$ trên ${({P})}$.
Khi đó ${\Delta}$ có một véc-tơ chỉ phương là ${\left.\overrightarrow{{u}}=\left[\overrightarrow{{n}}_{{P}}\right), \overrightarrow{{n}}({Q})\right]=(4 ; 5 ; 13)}$.
Ta có ${{A} \in {d} \subset({Q}) \Rightarrow {A} \in({Q})}$ và dễ thấy tọa độ ${{A}}$ thỏa phương trình ${({P}) \Rightarrow {A} \in({P})}$.Do đó ${{A} \in \Delta .}$
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta}$ là ${\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z-1}{13}}$.
Đáp án A.