Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):z=0. $ Đường thẳng $ \Delta $ vuông góc với đường thẳng $ d $ và hợp với mặt phẳng $ \left( P \right) $ một góc bằng 450. Gọi $ \overrightarrow{u}\left( 1;a;b \right) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ \Delta . $ Tính $ 2a-b.$
A. $-2$
B. $3$
C. 2
D. 1
& x=1+t \\
& y=1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):z=0. $ Đường thẳng $ \Delta $ vuông góc với đường thẳng $ d $ và hợp với mặt phẳng $ \left( P \right) $ một góc bằng 450. Gọi $ \overrightarrow{u}\left( 1;a;b \right) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ \Delta . $ Tính $ 2a-b.$
A. $-2$
B. $3$
C. 2
D. 1
Cách giải:
Do $\Delta \bot d$ nên $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1.$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;a-1 \right)$
Ta có: $\sin {{45}^{0}}=\cos {{45}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|}=\dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{2+{{a}^{2}}}.1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy $a=0;b=-1.$
Do $\Delta \bot d$ nên $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1.$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;a-1 \right)$
Ta có: $\sin {{45}^{0}}=\cos {{45}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|}=\dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{2+{{a}^{2}}}.1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy $a=0;b=-1.$
Đáp án D.