Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 4;6;4 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z}{3},$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+4}{3}$. Đường thẳng đi qua $M$ đồng thời cắt cả $2$ đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ tại $A$ và $B$, độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng
A. $2\sqrt{43}$.
B. $\sqrt{43}$.
C. $2\sqrt{13}$.
D. $\sqrt{13}$.
A. $2\sqrt{43}$.
B. $\sqrt{43}$.
C. $2\sqrt{13}$.
D. $\sqrt{13}$.
Do $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2a;-3+4a;3a \right)$ và $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( b;2+b;-4+3b \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( 2a-3;4a-9;3a-4 \right); \overrightarrow{MB}=\left( b-4;b-4;3b-8 \right)$.
Do điểm $M,A,B$ thẳng hàng nên $\exists k\ne 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 2a-3=k.\left( b-4 \right) \left( 1 \right) \\
& 4a-9=k.\left( b-4 \right) \left( 2 \right) \\
& 3a-4=k.\left( 3b-8 \right) \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow 2a-3=4a-9\Leftrightarrow a=3$.
Thay vào $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& k\left( b-4 \right)=3 \\
& k\left( 3b-8 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& k=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó suy ra $A\left( 7;9;9 \right);B\left( 1;3;-1 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{43}$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( 2a-3;4a-9;3a-4 \right); \overrightarrow{MB}=\left( b-4;b-4;3b-8 \right)$.
Do điểm $M,A,B$ thẳng hàng nên $\exists k\ne 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 2a-3=k.\left( b-4 \right) \left( 1 \right) \\
& 4a-9=k.\left( b-4 \right) \left( 2 \right) \\
& 3a-4=k.\left( 3b-8 \right) \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow 2a-3=4a-9\Leftrightarrow a=3$.
Thay vào $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& k\left( b-4 \right)=3 \\
& k\left( 3b-8 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& k=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó suy ra $A\left( 7;9;9 \right);B\left( 1;3;-1 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{43}$.
Đáp án A.