Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( 3;-2;-1 \right).$ Ba điểm $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz.$ Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có một vectơ pháp tuyến là:
A. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -2;-3;6 \right)$
B. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( -2;3;-6 \right)$
C. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( -2;3;6 \right)$
D. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$
A. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -2;-3;6 \right)$
B. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( -2;3;-6 \right)$
C. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( -2;3;6 \right)$
D. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$
Phương pháp:
- Hình chiếu của $M\left( a;b;c \right)$ trên các trục $Ox,Oy,Oz$ là $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right).$
- Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Cách giải:
Ta có $A\left( 3;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right),C\left( 0;0;-1 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{-1}=1\Leftrightarrow 2x-3y-6z-6=0.$
Suy ra mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3;-6 \right).$
Vậy $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( -2;3;6 \right)=-\overrightarrow{n}$ cũng là 1 VTPT của $\left( ABC \right).$
- Hình chiếu của $M\left( a;b;c \right)$ trên các trục $Ox,Oy,Oz$ là $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right).$
- Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Cách giải:
Ta có $A\left( 3;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right),C\left( 0;0;-1 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{-1}=1\Leftrightarrow 2x-3y-6z-6=0.$
Suy ra mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3;-6 \right).$
Vậy $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( -2;3;6 \right)=-\overrightarrow{n}$ cũng là 1 VTPT của $\left( ABC \right).$
Đáp án C.