Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 1;1;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt chiều dương của các trục $Ox,Oy,Oz$ lần...

Phương pháp:
- Viết phương trình mặt chắn của $\left( P \right).$
- Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ được phương trình thứ nhất.
- Sử dụng giả thiết $OA=2Ob$ được phương trình thứ hai.
- Áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}\left( a,b,c\ge 0 \right).$
Cách giải:
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì $\left( P \right)$ đi qua $M$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1.$
Mặt khác $OA=2OB$ nên $a=2b$ nên $\dfrac{3}{2b}+\dfrac{1}{c}=1.$
Thể tích khối tứ diện OABC là $V=\dfrac{1}{6}abc=\dfrac{1}{3}{{b}^{2}}c.$
Ta có $\dfrac{3}{2b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{4b}+\dfrac{3}{4b}+\dfrac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{9}{16{{b}^{2}}c}}\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{9}{16{{b}^{2}}c}}\le \dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{16{{b}^{2}}c}{9}\ge 27\Rightarrow V=\dfrac{{{b}^{2}}c}{3}\ge \dfrac{81}{16}.$
$\Rightarrow \min V=\dfrac{81}{16}$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{3}{4b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3} \\
& a=2b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{9}{2} \\
& b=\dfrac{9}{4} \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $S=2a+b+3c=\dfrac{81}{4}.$