Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left( 2;1;3 \right)$, mặt phẳng...

$\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$, có tâm $I\left( 3;2;5 \right)$ và $R=6$
Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{\left| EI \right|}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R$.
Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $(S)$.
Vì $E\in \left( P \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& E\in \Delta \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên giao điểm của $ \left( \Delta \right) $ và $ (S) $ nằm trên đường tròn giao tuyến $ (C) $ tâm K của mặt phẳng $ (P) $ và mặt cầu $ (S) $, trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $ (P) $. Gọi $ \Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A;B \right\} $. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $ d\left( K,\Delta \right)$ lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên $\left( \Delta \right)$ khi đó $d\left( K;\Delta \right)=KF\le KE$. Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& IK\bot \left( P \right) \\
& KE\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& IK\bot \Delta \\
& KE\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta $.
Mặt khác: $\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}},\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5;-5;0 \right)$, cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right) \\
& \Delta \bot IE \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \Delta $ có một vectơ chỉ phương là $ \overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right) $. Vậy $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$.