Trong không gian Oxyz, cho điểm $E(2;1;3)$, mặt phẳng...

$\left(S\right):{(x-3)}^2+{(y-2)}^2+{(z-5)}^2=36$, có tâm $I(3;2;5)$ và $R=6$
Ta có: $\overrightarrow{EI}=(1;1;2)\Rightarrow \overrightarrow{\left|EI\right|}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$.
Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $(S)$.
Vì $E\in \left(P\right)$ và $\{\begin{array}{rl}& E\in \mathrm{\Delta }\\ & \mathrm{\Delta }\subset \left(P\right)\end{array}$ nên giao điểm của $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ và $(S)$ nằm trên đường tròn giao tuyến $(C)$ tâm K của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$, trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(P)$. Gọi $\mathrm{\Delta }\cap \left(S\right)=\{A;B\}$. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d(K,\mathrm{\Delta })$ lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ khi đó $d(K;\mathrm{\Delta })=KF\le KE$. Dấu ${}^{″}{=}^{″}$ xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$.
Vì $\{\begin{array}{rl}& IK\mathrm{\perp }\left(P\right)\\ & KE\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& IK\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\\ & KE\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\end{array}\Rightarrow IE\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$.
Mặt khác: $[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},\overrightarrow{EI}]=(5;-5;0)$, cùng phương với $\overrightarrow{u}=(1;-1;0)$.
Vì $\{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\subset \left(P\right)\\ & \mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }IE\end{array}$ nên $\mathrm{\Delta }$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;-1;0)$. Vậy $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=2+t\\ & y=1-t\\ & z=3\end{array}$.