Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trong $\left( P \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc $90{}^\circ $. Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $I\left( 3;-2;11 \right)$.
B. $J\left( 1;-2;5 \right)$.
C. $H\left( -2;-1;3 \right)$.
D. $K\left( 4;-2;5 \right)$.
A. $I\left( 3;-2;11 \right)$.
B. $J\left( 1;-2;5 \right)$.
C. $H\left( -2;-1;3 \right)$.
D. $K\left( 4;-2;5 \right)$.
Phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
& 2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0 $ $ \Leftrightarrow 18t+18=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $B\left( -2;-2;1 \right)$.
Điểm $M$ thuộc $\left( P \right)$ và luôn nhìn $AB$ dưới một góc vuông nên $M$ thuộc đường tròn là giao của mặt cầu đường kính $AB$ với mặt phẳng $\left( P \right)$
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $E\left( -\dfrac{1}{2};0;-1 \right)$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $E$ lên $\left( P \right)$ khi đó $I$ là tâm đường tròn là giao tuyến của $\left( P \right)$ với mặt cầu đường kính $AB$.
Độ dài $MB$ lớn nhất khi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $I$, khi đó đường thẳng $MB$ đi qua $B$ và $I$.
Đường thẳng $\Delta $ qua $E$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2}+2t \\
& y=2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2}+2t \\
& y=2t \\
& z=-1-t \\
& 2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2\left( -\dfrac{1}{2}+2t \right)+2.2t-\left( -1-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( -\dfrac{5}{2};-2;0 \right)$.
Ta có $2\overrightarrow{IB}=\left( 1;0;2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BM:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Trong các đáp án thì đường thẳng $BM$ đi qua $I\left( 3;-2;11 \right)$ (ứng với $t=5$ ).
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
& 2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0 $ $ \Leftrightarrow 18t+18=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $B\left( -2;-2;1 \right)$.
Điểm $M$ thuộc $\left( P \right)$ và luôn nhìn $AB$ dưới một góc vuông nên $M$ thuộc đường tròn là giao của mặt cầu đường kính $AB$ với mặt phẳng $\left( P \right)$
Gọi $I$ là hình chiếu của $E$ lên $\left( P \right)$ khi đó $I$ là tâm đường tròn là giao tuyến của $\left( P \right)$ với mặt cầu đường kính $AB$.
Độ dài $MB$ lớn nhất khi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $I$, khi đó đường thẳng $MB$ đi qua $B$ và $I$.
Đường thẳng $\Delta $ qua $E$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2}+2t \\
& y=2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2}+2t \\
& y=2t \\
& z=-1-t \\
& 2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2\left( -\dfrac{1}{2}+2t \right)+2.2t-\left( -1-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( -\dfrac{5}{2};-2;0 \right)$.
Ta có $2\overrightarrow{IB}=\left( 1;0;2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BM:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Trong các đáp án thì đường thẳng $BM$ đi qua $I\left( 3;-2;11 \right)$ (ứng với $t=5$ ).
Đáp án A.