Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;1;-2 \right)$, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{3}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y-z+4=0$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $d$ và $\left( \alpha \right)$ lần lượt tại $M,N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$ có phương trình là
A. $\Delta :\dfrac{x+1}{6}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{11}$.
B. $\Delta :\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\Delta :\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.
D. $\Delta :\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+2}{11}$.
A. $\Delta :\dfrac{x+1}{6}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{11}$.
B. $\Delta :\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\Delta :\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.
D. $\Delta :\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+2}{11}$.
Đường thẳng $\Delta $ cắt $d$ $:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right. $ tại $ M $ suy ra ta có tọa độ điểm $ M\left( 1+2t;-1-t;3t \right)$.
Vì $A$ là trung điểm của $MN$ nên ta có tọa độ điểm $N\left( 1-2t;3+t;-4-3t \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ cắt mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tại $N$ do đó tọa độ của điểm $N$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y-z+4=0$ suy ra $\left( 1-2t \right)-2\left( 3+t \right)-\left( -4-3t \right)+4=0\Leftrightarrow t=3$.
Vậy đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=\left( 6;-5;11 \right)$.
Xét đáp án B, C: véctơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left( 3;-2;1 \right)$ của đường thẳng trong đáp án đã cho không cùng phương với véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=\left( 6;-5;11 \right)$. Loại B và C.
Xét đáp án A: thay tọa độ điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ vào phương trình $\Delta :\dfrac{7+1}{6}=\dfrac{-4+1}{-5}=\dfrac{9-2}{11}$ ta được mệnh đề sai. Loại A.
Xét đáp án D: thay tọa độ điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ vào phương trình $\Delta :\dfrac{7-1}{6}=\dfrac{-4-1}{-5}=\dfrac{9+2}{11}=1$ ta được mệnh đề đúng. Nhận D.
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right. $ tại $ M $ suy ra ta có tọa độ điểm $ M\left( 1+2t;-1-t;3t \right)$.
Vì $A$ là trung điểm của $MN$ nên ta có tọa độ điểm $N\left( 1-2t;3+t;-4-3t \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ cắt mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tại $N$ do đó tọa độ của điểm $N$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y-z+4=0$ suy ra $\left( 1-2t \right)-2\left( 3+t \right)-\left( -4-3t \right)+4=0\Leftrightarrow t=3$.
Vậy đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=\left( 6;-5;11 \right)$.
Xét đáp án B, C: véctơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left( 3;-2;1 \right)$ của đường thẳng trong đáp án đã cho không cùng phương với véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=\left( 6;-5;11 \right)$. Loại B và C.
Xét đáp án A: thay tọa độ điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ vào phương trình $\Delta :\dfrac{7+1}{6}=\dfrac{-4+1}{-5}=\dfrac{9-2}{11}$ ta được mệnh đề sai. Loại A.
Xét đáp án D: thay tọa độ điểm $M\left( 7;-4;9 \right)$ vào phương trình $\Delta :\dfrac{7-1}{6}=\dfrac{-4-1}{-5}=\dfrac{9+2}{11}=1$ ta được mệnh đề đúng. Nhận D.
Đáp án D.