Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;0;2 \right)$ và đường thẳng
$d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A,$ vuông góc và cắt $d.~$
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z-2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. ~$
$d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A,$ vuông góc và cắt $d.~$
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z-2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. ~$
Phương pháp:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có 1 VTCP$$ $\vec{u}(a,b,c),(a,b,c\ne 0)$
là:
$\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$
Cách giải:
Đường thẳng d có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;1;2)$ và có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+t \\
y=t \\
z=-1+2t \\
\end{array} \right.$
Giả sử tọa độ giao điểm của ∆ và d là: $B(1+t;t;-1+2t)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(t;t;2t-3)$
Vì ∆ vuông góc d nên $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t.1+t.1+(2t-3)\cdot 2=0\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$
là Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận $\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$ VTCP, có phương trình: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có 1 VTCP$$ $\vec{u}(a,b,c),(a,b,c\ne 0)$
là:
$\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$
Cách giải:
Đường thẳng d có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;1;2)$ và có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+t \\
y=t \\
z=-1+2t \\
\end{array} \right.$
Giả sử tọa độ giao điểm của ∆ và d là: $B(1+t;t;-1+2t)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(t;t;2t-3)$
Vì ∆ vuông góc d nên $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t.1+t.1+(2t-3)\cdot 2=0\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$
là Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận $\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$ VTCP, có phương trình: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$
Đáp án D.