Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;4;-3 \right).$ Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi cách điểm $B\left( 4;0;-1 \right)$ một...

Ta có $\overrightarrow{AB}\left( 4;-4;2 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=6.$
Trường hợp 1: Hai điểm $A,B$ nằm cùng phía so với $\left( P \right)$ có hai hình vẽ biểu diễn là hình 1 và hình 2.
Từ hình vẽ 1 ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=AK,d\left( B;\left( P \right) \right)=BH=3.$
$AK=AI+IK\le AB+BH=6+3=9$ (do $IK=BH,AI\le AB$ ).
Suy ra $AK$ lớn nhất bằng 9 khi $AI=AB,$ điều này xảy ra khi $A,B,H$ thẳng hàng và $H=K.$
Vậy $d\left( A,\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng 9 và $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{AB}\left( 4;-4;2 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{n}\left( 2;-2;1 \right)$ là véc tơ pháp tuyến có phương trình dạng $2x-2y+z+D=0.$
$d\left( A,\left( P \right) \right)=9\Leftrightarrow \dfrac{\left| D-11 \right|}{3}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=38 \\
& D=-16 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $\left( P \right)$ có phương trình $2x-2y+z+38=0$ và $2x-2y+z-16=0.$
Đối chiếu các phương án ta thấy có phương án A thỏa mãn.
Từ hình vẽ ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=AH=EH<BK=3<9$ nên loại.
Trường hợp 2: Hai điểm $A,B$ nằm khác phía so với $\left( P \right).$
Từ hình vẽ 3 ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=AK<AF<AB=6<9$ nên loại.
Vậy đáp án là phương án A.