Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho các đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-4}{-2}$ và $\Delta :\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}.$ Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa $\Delta $ thì mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+25=0$ tạo với $d$ góc lớn nhất. Tính $T=a+b+c.$
A. $T=9$
B. $T=5$
C. $T=-8$
D. $T=-7$
A. $T=9$
B. $T=5$
C. $T=-8$
D. $T=-7$
Cách giải:
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $\Delta .$
Gọi $d'$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $d.$ Khi đó ta có $\angle \left( d;\left( P \right) \right)=\angle \left( d';\left( P \right) \right).$
Lấy $S\in d'$ bất kì, kẻ $SH\bot \Delta ,SK\bot \left( P \right).$
$\Rightarrow KM$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ lên $\left( P \right).$
$\Rightarrow \angle \left( d;\left( P \right) \right)=\angle \left( d';\left( P \right) \right)=\left( SM;KM \right)=\angle SMK=\alpha .$
Xét tam giác vuông $SMK$ ta có $\sin \alpha =\dfrac{SK}{SM}.$
Để $\alpha $ nhỏ nhất thì $\sin \alpha $ nhỏ nhất $\Rightarrow \dfrac{SK}{SM}$ nhỏ nhất.
Ta có $SM\ge SH\Rightarrow \dfrac{SK}{SM}\ge \dfrac{SH}{SM}\Rightarrow \sin \alpha \ge \dfrac{SH}{SM}.$
Ta có $S,\left( P \right),\Delta $ cố định $\Rightarrow SH,SK$ không đổi.
$\Rightarrow {{\left( \sin \alpha \right)}_{\min }}=\dfrac{SH}{SM}\Leftrightarrow H\equiv M.$
Khi đó $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( d';\Delta \right).$
Lấy $M\left( 1;2;-1 \right)\in \Delta $, phương trình đường thẳng $d'$ là $d':\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}.$
Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng chứa $d';\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 6;0;-9 \right)=3\left( 2;0;-3 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right)' \\
& \left( R \right)\bot \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{R}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{R}}} \right]=\left( -3;13;-2 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):-3\left( x-1 \right)+13\left( y-2 \right)-2\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-13y+2z+25=0$
$\Rightarrow a=3,b=-13,c=2.$
Vậy $T=a+b+c=3-13+2=-8.$
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $\Delta .$
Gọi $d'$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $d.$ Khi đó ta có $\angle \left( d;\left( P \right) \right)=\angle \left( d';\left( P \right) \right).$
Lấy $S\in d'$ bất kì, kẻ $SH\bot \Delta ,SK\bot \left( P \right).$
$\Rightarrow KM$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ lên $\left( P \right).$
$\Rightarrow \angle \left( d;\left( P \right) \right)=\angle \left( d';\left( P \right) \right)=\left( SM;KM \right)=\angle SMK=\alpha .$
Xét tam giác vuông $SMK$ ta có $\sin \alpha =\dfrac{SK}{SM}.$
Để $\alpha $ nhỏ nhất thì $\sin \alpha $ nhỏ nhất $\Rightarrow \dfrac{SK}{SM}$ nhỏ nhất.
Ta có $SM\ge SH\Rightarrow \dfrac{SK}{SM}\ge \dfrac{SH}{SM}\Rightarrow \sin \alpha \ge \dfrac{SH}{SM}.$
Ta có $S,\left( P \right),\Delta $ cố định $\Rightarrow SH,SK$ không đổi.
$\Rightarrow {{\left( \sin \alpha \right)}_{\min }}=\dfrac{SH}{SM}\Leftrightarrow H\equiv M.$
Khi đó $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( d';\Delta \right).$
Lấy $M\left( 1;2;-1 \right)\in \Delta $, phương trình đường thẳng $d'$ là $d':\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}.$
Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng chứa $d';\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 6;0;-9 \right)=3\left( 2;0;-3 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right)' \\
& \left( R \right)\bot \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{R}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{R}}} \right]=\left( -3;13;-2 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):-3\left( x-1 \right)+13\left( y-2 \right)-2\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-13y+2z+25=0$
$\Rightarrow a=3,b=-13,c=2.$
Vậy $T=a+b+c=3-13+2=-8.$
Đáp án C.