Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M\left( m ; 0 ; 0 \right), N\left( 0 ; n ; 0 \right), P\left( 0 ; 0 ; p \right)$ không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( MNP \right)$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{1}{27}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{1}{27}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ có phương trình là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.
Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có: $\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}} \right)\ge 9\Rightarrow \dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}\ge \dfrac{9}{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}=3$
Khi đó: $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Dấu bằng xảy ra khi $m=n=p=1$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến $\left( MNP \right)$ bằng $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có: $\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}} \right)\ge 9\Rightarrow \dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}\ge \dfrac{9}{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}=3$
Khi đó: $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Dấu bằng xảy ra khi $m=n=p=1$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến $\left( MNP \right)$ bằng $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Đáp án C.