Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;0;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25$ với $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0$. $M,N$ là hai điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM\text{+}BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ ( $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố). Tính $a+b+c$.
A. $80$.
B. $93$.
C. $89$.
D. $90$.
A. $80$.
B. $93$.
C. $89$.
D. $90$.
Ta có: $\left( P \right):\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( P \right):z=0\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( Oxy \right)$.
Gọi $C\left( 0;0;0 \right)$ và $D\left( 2;3;0 \right)$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ trên $\left( Oxy \right)$.
$\Rightarrow AC=3,BD=5,CD=\sqrt{13}$
Với 4 điểm $M,N,C,D$ trên một mặt phẳng ta luôn có được:
$CM+MN+ND\ge CD\Leftrightarrow CM+ND\ge \sqrt{13}-1$.
Ta có: $AM\text{+}BN=\sqrt{A{{C}^{2}}\text{+}C{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{D}^{2}}\text{+}D{{N}^{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:
$\Rightarrow a+b+c=78+2+13=93$
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( P \right):z=0\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( Oxy \right)$.
Gọi $C\left( 0;0;0 \right)$ và $D\left( 2;3;0 \right)$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ trên $\left( Oxy \right)$.
$\Rightarrow AC=3,BD=5,CD=\sqrt{13}$
Với 4 điểm $M,N,C,D$ trên một mặt phẳng ta luôn có được:
$CM+MN+ND\ge CD\Leftrightarrow CM+ND\ge \sqrt{13}-1$.
Ta có: $AM\text{+}BN=\sqrt{A{{C}^{2}}\text{+}C{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{D}^{2}}\text{+}D{{N}^{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:
$\sqrt{A{{C}^{2}}\text{+}C{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{D}^{2}}\text{+}D{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AC+BD \right)}^{2}}\text{+}{{\left( CM+DN \right)}^{2}}}\ge \sqrt{64+{{\left( \sqrt{13}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{78-2\sqrt{13}}$
Đẳng thức xảy ra khi $M,N,C,D$ thẳng hàng và $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{DN}$.$\Rightarrow a+b+c=78+2+13=93$
Đáp án B.