Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 0;0;-2 \right)$ và $B\left( 3;4;1 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16$ với $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-10=0$. $M$, $N$ là hai điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là
A. $\sqrt{34}-1$.
B. $\sqrt{34}$.
C. $5$.
D. $4$
A. $\sqrt{34}-1$.
B. $\sqrt{34}$.
C. $5$.
D. $4$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-10=0 \\
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow z=0$
Vậy $\left( P \right)$ là mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $A'\left( 0;0;0 \right)$ và $B'\left( 3;4;0 \right)$ là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $Oxy$.
Ta có $A'M+MN+NB'\ge A'B'\Leftrightarrow A'M+NB'\ge 5-1=4$
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:
$AM+BN=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}}+\sqrt{BB{{'}^{2}}+B'{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}\ge 5$.
Đẳng thức xảy ra khi $A',M,N,B'$ thẳng hàng và $\dfrac{AA'}{A'M}=\dfrac{BB'}{B'N}$.
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-10=0 \\
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow z=0$
Vậy $\left( P \right)$ là mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $A'\left( 0;0;0 \right)$ và $B'\left( 3;4;0 \right)$ là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $Oxy$.
Ta có $A'M+MN+NB'\ge A'B'\Leftrightarrow A'M+NB'\ge 5-1=4$
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:
$AM+BN=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}}+\sqrt{BB{{'}^{2}}+B'{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AA'+BB' \right)}^{2}}+{{\left( A'M+B'N \right)}^{2}}}\ge 5$.
Đẳng thức xảy ra khi $A',M,N,B'$ thẳng hàng và $\dfrac{AA'}{A'M}=\dfrac{BB'}{B'N}$.
Đáp án C.