Google
Câu hỏi: : Trong không gian $Oxyz,$ cho ba đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{-1},{{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ {{d}_{1}}, $ cắt các đường thẳng $ {{d}_{2}},{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A $ và $ B\left( A\ne B \right) $ sao cho đường thẳng $ AB $ vuông góc với $ {{d}_{1}}. $ Phương trình của mặt phẳng $ \left( P \right)$ là:
A. $x+2y+5z-5=0.$
B. $x+2y+5z-4=0.$
C. $x+2y-z-4=0.$
D. $2x-y-3=0.$
& x=t \\
& y=2 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ \left( P \right) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ {{d}_{1}}, $ cắt các đường thẳng $ {{d}_{2}},{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A $ và $ B\left( A\ne B \right) $ sao cho đường thẳng $ AB $ vuông góc với $ {{d}_{1}}. $ Phương trình của mặt phẳng $ \left( P \right)$ là:
A. $x+2y+5z-5=0.$
B. $x+2y+5z-4=0.$
C. $x+2y-z-4=0.$
D. $2x-y-3=0.$
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 1;2;-1 \right),\left\{ \begin{aligned}
& A\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( a;2;3 \right) \\
& B\in {{d}_{3}}\Rightarrow B\left( 0;b+2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right).$ Theo đề bài
$AB\bot {{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0\Leftrightarrow -a+2b=0\Leftrightarrow a=2b\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2b;b;0 \right).$ Vì $A\ne B\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right)$ là một VTCP của $AB.$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \right]=\left( -1;-2;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right) $ là một VTPT của $ \left( P \right).$
Kết hợp với $\left( P \right)$ qua $M\left( 2;1;0 \right)\in d\Rightarrow \left( P \right):\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+5z=0\Leftrightarrow x+2y+5z-4=0.$
& A\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( a;2;3 \right) \\
& B\in {{d}_{3}}\Rightarrow B\left( 0;b+2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right).$ Theo đề bài
$AB\bot {{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0\Leftrightarrow -a+2b=0\Leftrightarrow a=2b\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2b;b;0 \right).$ Vì $A\ne B\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right)$ là một VTCP của $AB.$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \right]=\left( -1;-2;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right) $ là một VTPT của $ \left( P \right).$
Kết hợp với $\left( P \right)$ qua $M\left( 2;1;0 \right)\in d\Rightarrow \left( P \right):\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+5z=0\Leftrightarrow x+2y+5z-4=0.$
Đáp án B.