Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 4;1;3 \right),B\left( 2;1;5 \right)$ và $C\left( 4;3;-3 \right)$ không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là
A. $2x-y-z-1=0$
B. $2x-2z-1=0$
C. $x-z+1=0$
D. $x+y-z+3=0$
A. $2x-y-z-1=0$
B. $2x-2z-1=0$
C. $x-z+1=0$
D. $x+y-z+3=0$
Phương pháp:
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right).$
- Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& I\in \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right. $ tìm tâm $ I.$
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;0;2 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 0;2;-6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -4;-12;-4 \right).$
$\Rightarrow \left( ABC \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;3;1 \right)$ là 1 VTPT.
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $1\left( x-4 \right)+3\left( y-1 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+3y+z-10=0.$
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& I\in ABC \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}} \\
& {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}} \\
& x+3y+z-10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4x+4z=4 \\
& 4y-12z=8 \\
& x+3y+z-10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{6}{11} \\
& y=\dfrac{37}{11} \\
& z=\dfrac{5}{11} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB$ là:
$-2\left( x+\dfrac{6}{11} \right)+2\left( z-\dfrac{5}{11} \right)=0\Leftrightarrow 2x-2z+2=0\Leftrightarrow x-z+1=0$
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right).$
- Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& I\in \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right. $ tìm tâm $ I.$
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;0;2 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 0;2;-6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -4;-12;-4 \right).$
$\Rightarrow \left( ABC \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;3;1 \right)$ là 1 VTPT.
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $1\left( x-4 \right)+3\left( y-1 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+3y+z-10=0.$
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& I\in ABC \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}} \\
& {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}} \\
& x+3y+z-10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4x+4z=4 \\
& 4y-12z=8 \\
& x+3y+z-10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{6}{11} \\
& y=\dfrac{37}{11} \\
& z=\dfrac{5}{11} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB$ là:
$-2\left( x+\dfrac{6}{11} \right)+2\left( z-\dfrac{5}{11} \right)=0\Leftrightarrow 2x-2z+2=0\Leftrightarrow x-z+1=0$
Đáp án C.