Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 1;2;3 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$, $C\left( 1;0;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+2=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn hệ thức $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $T=a-b+9c$ bằng
A. $\dfrac{13}{9}$.
B. $-\dfrac{13}{9}$.
C. $13$.
D. $-13$.
A. $\dfrac{13}{9}$.
B. $-\dfrac{13}{9}$.
C. $13$.
D. $-13$.
Chọn điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $K\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{2} \right)$ cố định.
$P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+3{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC} \right)}^{2}}$
$=6M{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+3K{{C}^{2}}-2\overrightarrow{MK}\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)$
$=6M{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+3K{{C}^{2}}$.
$P$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MK$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $K$ lên $\left( P \right)$.
Do đó $M\left( -\dfrac{5}{18};-\dfrac{5}{18};-\dfrac{13}{9} \right)$. Khi đó $T=\left( -\dfrac{5}{18} \right)-\left( -\dfrac{5}{18} \right)+9\left( -\dfrac{13}{9} \right)=-13$.
$P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+3{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC} \right)}^{2}}$
$=6M{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+3K{{C}^{2}}-2\overrightarrow{MK}\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)$
$=6M{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+3K{{C}^{2}}$.
$P$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MK$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $K$ lên $\left( P \right)$.
Do đó $M\left( -\dfrac{5}{18};-\dfrac{5}{18};-\dfrac{13}{9} \right)$. Khi đó $T=\left( -\dfrac{5}{18} \right)-\left( -\dfrac{5}{18} \right)+9\left( -\dfrac{13}{9} \right)=-13$.
Đáp án D.