Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 2;1;0 \right),C\left( 2;0;2 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa...

Phương pháp:
- Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( P \right),BC.$ Chứng minh $AH\le AK\Rightarrow d{{\left( A;\left( P \right) \right)}_{\max }}=AK.$
- Viết phương trình đường thẳng $BC,$ tham số hóa tọa độ điểm $K\in BC.$
- Sử dụng $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0$ tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AK}.$
Cách giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( P \right),BC.$
Ta có $AH\bot \left( P \right)\Rightarrow AH\bot HK\Rightarrow \Delta AHK$ vuông tại $H\Rightarrow AH\le AK$ hay $d\left( A;\left( P \right) \right)\le d\left( A;BC \right)$.
Do đó $d\left( A;\left( P \right) \right)$ lớn nhất khi $AH\equiv AK\Rightarrow H\equiv K.$
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;2 \right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $BC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$
Vì $K\in BC\Rightarrow K\left( 2;1-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left( 1;-t;2t-1 \right).$
Ta có $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow 1.0+t+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{5}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left( 1;-\dfrac{2}{5};-\dfrac{1}{5} \right)//\left( 5;-2;-1 \right).$
Vậy khi $d\left( A;\left( P \right) \right)$ lớn nhất thì $\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 5;-2;-1 \right).$