Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( 8;9;3 \right), B\left( 11;3;3 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$. Gọi $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB$. Tập hợp các tiếp tuyến với $\left( S \right)$ kẻ từ $K$ là mặt nón tròn xoay có đáy là đường tròn tạo bởi các tiếp điểm. Thể tích nhỏ nhất của một khối nón trong tập hợp các khối nón đỉnh $K$ là
A. $\dfrac{65\sqrt{5}}{3}\pi $
B. $\dfrac{70\sqrt{5}}{3}\pi $
C. $\dfrac{80\sqrt{5}}{3}\pi $
D. $\dfrac{85\sqrt{5}}{3}\pi $
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;3 \right)$, bán kính $R=5$
$IA=\sqrt{130}, IB=\sqrt{145}, d\left( I,AB \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=5\sqrt{5}$
Thể tích khối nón đỉnh $K$ :
${{V}_{K}}=\dfrac{\pi }{3}.H{{M}^{2}}.HK=\dfrac{\pi }{3}HI.H{{K}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{2}}}{IK} \right){{\left( IK-\dfrac{{{R}^{2}}}{IK} \right)}^{2}}$
Đặt $t=IK$ ta có $t\in \left[ 5\sqrt{5};\sqrt{145} \right] ,(t>R)$
Xét hàm $f(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{2}}}{t} \right){{\left( t-\dfrac{{{R}^{2}}}{t} \right)}^{2}}\Leftrightarrow f(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{6}}}{{{t}^{3}}}-2\dfrac{{{R}^{4}}}{t}+{{R}^{2}}t \right)$
Ta có $f'(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( -\dfrac{3{{R}^{6}}}{{{t}^{4}}}+\dfrac{2{{R}^{4}}}{{{t}^{2}}}+{{R}^{2}} \right)\Rightarrow f'(t)=\dfrac{\pi }{3}{{R}^{2}}\left( {{t}^{4}}+2{{\text{R}}^{2}}{{t}^{2}}-3{{\text{R}}^{4}} \right)$
$f'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}={{R}^{2}} \\
& {{t}^{2}}=-3{{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$ (loại)
BBT:
Vậy $\min V=\dfrac{80\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow IK=5\sqrt{5}$.
A. $\dfrac{65\sqrt{5}}{3}\pi $
B. $\dfrac{70\sqrt{5}}{3}\pi $
C. $\dfrac{80\sqrt{5}}{3}\pi $
D. $\dfrac{85\sqrt{5}}{3}\pi $
$IA=\sqrt{130}, IB=\sqrt{145}, d\left( I,AB \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=5\sqrt{5}$
Thể tích khối nón đỉnh $K$ :
${{V}_{K}}=\dfrac{\pi }{3}.H{{M}^{2}}.HK=\dfrac{\pi }{3}HI.H{{K}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{2}}}{IK} \right){{\left( IK-\dfrac{{{R}^{2}}}{IK} \right)}^{2}}$
Đặt $t=IK$ ta có $t\in \left[ 5\sqrt{5};\sqrt{145} \right] ,(t>R)$
Xét hàm $f(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{2}}}{t} \right){{\left( t-\dfrac{{{R}^{2}}}{t} \right)}^{2}}\Leftrightarrow f(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( \dfrac{{{R}^{6}}}{{{t}^{3}}}-2\dfrac{{{R}^{4}}}{t}+{{R}^{2}}t \right)$
Ta có $f'(t)=\dfrac{\pi }{3}\left( -\dfrac{3{{R}^{6}}}{{{t}^{4}}}+\dfrac{2{{R}^{4}}}{{{t}^{2}}}+{{R}^{2}} \right)\Rightarrow f'(t)=\dfrac{\pi }{3}{{R}^{2}}\left( {{t}^{4}}+2{{\text{R}}^{2}}{{t}^{2}}-3{{\text{R}}^{4}} \right)$
$f'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}={{R}^{2}} \\
& {{t}^{2}}=-3{{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$ (loại)
BBT:
Đáp án C.