Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( -1;3;-1 \right)$, $B\left( 4;-2;4 \right)$ và điểm $M$ thay đổi trong không gian thỏa mãn $3MA=2MB$. Giá trị...

Ta có $3MA=2MB\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}+50x-70y+50z-45=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10x-14y+10z-9=0$.
Vậy điểm $M$ luôn thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( -5;7;-5 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{3}$
● Gọi $K\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$. Ta có $\left\{ \begin{matrix}
2\left( -1-x \right)-\left( 4-x \right)=0 \\
2\left( 3-y \right)-\left( -2-y \right)=0 \\
2\left( -1-z \right)-\left( 4-z \right)=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=-6 \\
y=8 \\
z=-6 \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra $K\left( -6;8;-6 \right)$.
Ta có $P=\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} \right)-\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} \right) \right|=\left| \overrightarrow{MK}+\left( 2\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB} \right) \right|=\left| \overrightarrow{MK} \right|=MK$.
Do đó $P$ đạt giá trị lớn nhất khi độ dài đoạn $MK$ đạt giá trị lớn nhất.
Vì $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nên $MK$ đạt giá trị lớn nhất khi $MK=MI+IK=R+IK=7\sqrt{3}$.