Trong không gian Oxyz cho 3 điểm $A\left( 9;0;0 \right),B\left(...

Phương pháp:
- Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=~\overrightarrow{0}.~$.Chứng minh $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|=3MI$
- Gọi 'C là điểm đối xứng với C qua ( Oxy ) , tìm tọa độ điểm $C'$.
- Sử dụng BĐT $\left| MI-MC' \right|\le IC'$, tìm GTLN của S .
Cách giải:

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{~0}~$
$\overrightarrow{IA}=\left( 9-a;-b;-c \right);\overrightarrow{IB}=\left( -a;6-b;6-c \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-a-2a=0 \\
& -b+12-2b=0 \\
& -c+12-2c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=4 \\
& c=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 3;4;4 \right)$
Khi đó ta có
$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IB}$
$=3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)=3\overrightarrow{MI}$
$\Rightarrow S=\left| \left| 3\overrightarrow{MI} \right|-3MC \right|=3\left| MI-MC \right|$
Dễ dàng nhận thấy $I,C$ nằm khác phía đối với $\left( Oxy \right)$.
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với C qua $\left( Oxy \right)$ thì $C'\left( 0;0;16 \right).~$
Theo tính chất đối xứng có MC = MC ' .
$\Rightarrow MI-MC=MI-MC'\le IC'.~$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow M,I,C'$ thẳng hàng.
Khi đó ${{S}_{\max }}=3IC'=3\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}}=39$