Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxy\text{z}$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=1$. Xét điểm $M\left( a;b;c \right)$ di động trên đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$. Từ $M$ kẻ ba tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến $\left( S \right)$ với $A, B, C$ là các tiếp điểm. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ bằng
A. $15$.
B. $1$.
C. $5$.
D. $10$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;2 \right)$ và bán kính $R=1$.
Điểm $M\in d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1+t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow M\left( 1+2t;1+t;-2-2t \right)$.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Khi đó, ta có: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{1-I{{H}^{2}}}$. Do đó, ${{r}_{\min }}\Leftrightarrow I{{H}_{\text{max}}}$.
Mà $I{{H}_{\text{max}}}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}$ hay $IM=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IK},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ với $K\left( 1;1;-2 \right)\in d$.
Ta có: $\overrightarrow{IK}=\left( 0;1;-4 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right)$ suy ra $d\left( I,d \right)=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Ta có:
$IM=d\left( I;d \right)=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( 1+t \right)}^{2}}+{{\left( -4-2t \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}+18t+17=8$ $\Leftrightarrow t=-1$.
Vậy $M\left( -1;0;0 \right)$, suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$.
A. $15$.
B. $1$.
C. $5$.
D. $10$.
Điểm $M\in d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1+t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow M\left( 1+2t;1+t;-2-2t \right)$.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Khi đó, ta có: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{1-I{{H}^{2}}}$. Do đó, ${{r}_{\min }}\Leftrightarrow I{{H}_{\text{max}}}$.
Mà $I{{H}_{\text{max}}}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}$ hay $IM=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IK},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ với $K\left( 1;1;-2 \right)\in d$.
Ta có: $\overrightarrow{IK}=\left( 0;1;-4 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right)$ suy ra $d\left( I,d \right)=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Ta có:
$IM=d\left( I;d \right)=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( 1+t \right)}^{2}}+{{\left( -4-2t \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}+18t+17=8$ $\Leftrightarrow t=-1$.
Vậy $M\left( -1;0;0 \right)$, suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$.
Đáp án B.