Trong không gian $Oxy\text{z}$, cho hai điểm $A\left( 3;3;1...

Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$. Khi đó, mọi điểm của $d$ cách đều hai điểm $A, B$ suy ra $d\subset \left( \beta \right)$. Ta có: $\left( \beta \right)\bot AB$ và $\left( \beta \right)$ đi qua trung điểm $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2};1 \right)$ nên $\left( \beta \right)$ có phương trình: $3\left( x-\dfrac{3}{2} \right)+1\left( y-\dfrac{5}{2} \right)+0\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x+y-7=0$.
Đồng thời ta có: $d\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow d=\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 3;1;0 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;1 \right)$ suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}},\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left( 1;-3;2 \right)$.
Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x+y+z-7=0 \\
& 3x+y-7=0 \\
\end{aligned} \right. $. Cho $ x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=7 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=7-3t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$.