Trong không gian ${{Ox} y z}$, cho hai điểm ${A(1 ;-3 ;-4)}$ và...

Dễ thấy ${A, B}$ nằm hai phía của mặt phẳng ${(O x y)}$. Gọi ${A\prime }$ đối xứng với ${A}$ qua mặt phẳng ${(O x y)}$ suy ra ${A\prime (1 ;-3 ; 4), A M=A\prime M}$
Gọi ${E}$ và ${F}$ lần lượt là hình chiếu của ${A\prime }$ và ${B}$ lên mặt phẳng ${(O x y)}$, ta có
${E(1 ;-3 ; 0), F(-2 ; 1 ; 0) .}$ Do đó ${\overrightarrow{E F}=(-3 ; 4 ; 0) \Rightarrow E F=5}$
Dựng ${\overrightarrow{B K}=\overrightarrow{N M}}$ suy ra ${B N=K M}$
Vậy ${|A M-B N|=\left|A\prime M-K M\right| \leq A\prime K}$.
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của ${A\prime K}$.
Do ${M N}$ nằm trên mặt phẳng ${(O x y), B K / / M N}$ nên ${B K / /(O x y)}$. Suy ra ${K}$ nằm trên mặt phẳng chứa ${B}$, song song với ${m p(O x y)}$. Mà ${B K=M N=2}$ nên quỹ tích ${K}$ là đường tròn ${(B ; 2)}$
Kẻ ${B H \perp A A\prime \Rightarrow A\prime H=2}$,
Có ${A\prime K^2=A\prime H^2+H K^2 \leq 4+(H B+2)^2=4+(5+2)^2=53}$. Dấu «=» khi ${B}$ nằm giữa ${H, K}$. Vậy GTLN của ${|A M-B N|}$ là ${\sqrt{53}}$.