Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có tọa độ các điềm $A(1 ; 1 ; 1), B(2 ; 0 ; 2), C(-1 ;-1 ; 0)$, $D(0 ; 3 ; 4)$. Trên các cạnh $A B, A C, A D$ lần lượt lấy các điềm $B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ sao cho $\dfrac{A B}{A B^{\prime}}+\dfrac{A C}{A C^{\prime}}+\dfrac{A D}{A D^{\prime}}=4$ và tứ diện $A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $\left(B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right)$ là
A. $16 x-40 y-44 z+39=0$.
B. $16 x+40 y+44 z-39=0$.
C. $16 x-40 y-44 z-39=0$.
D. $16 x+40 y-44 z+39=0$.
Ta có $\dfrac{V_{A B C D}}{V_{A B I C I D \prime}}=\dfrac{A B}{A B,} \cdot \dfrac{A C}{A C}, \dfrac{A D}{A D \prime} \leq\left(\dfrac{\dfrac{A B}{A B I}+\dfrac{A C}{A C \prime}+\dfrac{A D}{A D \prime}}{3}\right)^3=\left(\dfrac{4}{3}\right)^3$.
Do đó thể tích của $A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A B}{A B^{\prime}}=\dfrac{A C}{A C^{\prime}}=\dfrac{A D}{A D^{\prime}}=\dfrac{4}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{A B^{\prime}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{A B} \Rightarrow B^{\prime}\left(\dfrac{7}{4} ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{7}{4}\right)$ và $\left(B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right) / /(B C D)$.
Mặt khác $|\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}|=(4 ; 10 ;-11)$.
Vậy $\left(B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right): 4\left(x-\dfrac{7}{4}\right)+10\left(y-\dfrac{1}{4}\right)-11\left(z-\dfrac{7}{4}\right)=0 \Leftrightarrow 16 x+40 y-44 z+39=0$.
A. $16 x-40 y-44 z+39=0$.
B. $16 x+40 y+44 z-39=0$.
C. $16 x-40 y-44 z-39=0$.
D. $16 x+40 y-44 z+39=0$.
Do đó thể tích của $A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A B}{A B^{\prime}}=\dfrac{A C}{A C^{\prime}}=\dfrac{A D}{A D^{\prime}}=\dfrac{4}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{A B^{\prime}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{A B} \Rightarrow B^{\prime}\left(\dfrac{7}{4} ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{7}{4}\right)$ và $\left(B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right) / /(B C D)$.
Mặt khác $|\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}|=(4 ; 10 ;-11)$.
Vậy $\left(B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right): 4\left(x-\dfrac{7}{4}\right)+10\left(y-\dfrac{1}{4}\right)-11\left(z-\dfrac{7}{4}\right)=0 \Leftrightarrow 16 x+40 y-44 z+39=0$.
Đáp án D.