Trong không gian ${O x y z}$, cho hai điểm ${M(1 ; 5 ;-2)}$ và...

Nhận xét: ${A}$ và ${B}$ nằm khác phía so với mặt phẳng ${(O x y)}$.
Gọi ${(P)}$ là mặt phẳng qua ${A}$ và song song với mặt phẳng ${(O x y) \Rightarrow(P): z=-3}$.
${B\prime }$ đối xứng với ${B}$ qua mặt phẳng ${(O x y) \Rightarrow B\prime (1 ;-3 ;-2)}$.
${B_1}$ là hình chiếu của ${B\prime }$ trên mặt phẳng ${(P) \Rightarrow B_1(1 ;-3 ;-3)}$.
Gọi ${A\prime =T_{\overline{M N}}
A. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A A\prime =3 \\ A A\prime / /(O x y)\end{array}\right.}$
${\Rightarrow A\prime }$ thuộc đường tròn ${
C. } $ có tâm $ {A} $ và bán kính $ {R=3,
C. } $ nằm trên mặt phẳng $ {(P)}$.
Ta có: ${|A M-B N|=\left|A\prime N-B N\right|=\left|A\prime N-B\prime N\right| \leq A\prime B\prime }$
${A B_1=5>R \Rightarrow B_1}$ nằm ngoài đường tròn ${
C. }$.
Do ${A\prime \in(P), B\prime \notin(P)}$ mà ${(P) / /(O x y)}$ suy ra ${A\prime B\prime }$ luôn cắt mặt phẳng ${(O x y)}$.
Ta lại có: ${A\prime B\prime =\sqrt{B_1 B^{\prime 2}+A\prime B_1^2}}$ mà ${B\prime B_1=1 ; A B_1=5 \Rightarrow A\prime B_{m a x}\prime \Leftrightarrow A\prime B_{1_{m a x}}=A B_1+R=8}$
${\Rightarrow|A M-B N|_{\max }=\sqrt{65}}$. Dấu " ${=}$ " xảy ra khi ${A\prime }$ là giao điểm của ${A B_1}$ với đường tròn ${
C. } $ $ {A} $ ở giữa $ {A\prime } $ và $ {B_1} $ và $ {N} $ là giao điểm của $ {A\prime B\prime } $ với mặt phẳng $ {(O x y)}$.