Trong không gian ${O x y z}$, cho đường thẳng ${d...

Gọi ${A(0 ; 0 ; 1), B(1 ;-1 ; 3)}$ là hai điểm thuộc đường thẳng ${d}$ và ${A\prime , B\prime }$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của ${A, B}$ lên ${(P)}$.
Dễ thấy ${A \in(P)}$ nên ${A \equiv A\prime }$.
Gọi ${\Delta}$ là đường thẳng đi qua ${B}$ và vuông góc với ${(P)}$
Có ${\overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{n_P}=(1 ; 2 ;-2)}$ Đường thẳng ${\Delta}$ đi qua ${B(1 ;-1 ; 3)}$ và có VTCP ${\vec{u}=(1 ; 2 ;-2)}$ có dạng: ${\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=-1+2 t, t \in \mathbb{R} \\ z=3-2 t\end{array}\right.}$
Tọa độ điểm ${B\prime }$ là tọa độ giao điểm của ${\Delta}$ và
${(P)}$, tức là nghiệm của hệ
${
\left\{\begin{array} { l }
{ x = 1 + t } \\
{ y = - 1 + 2 t } \\
{ z = 3 - 2 t } \\
{ x + 2 y - 2 z + 2 = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{14}{9} \\
y=\dfrac{1}{9} \Rightarrow B\prime \left(\dfrac{14}{9} ; \dfrac{1}{9} ; \dfrac{17}{9}\right) \\
z=\dfrac{17}{9}
\end{array}\right.\right.
}$
Gọi ${d\prime }$ là hình chiếu vuông góc của ${d}$ lên ${(P)}$
${
\Rightarrow \overrightarrow{u_{d\prime }}=\overrightarrow{A\prime B\prime }=\left(\dfrac{14}{9} ; \dfrac{1}{9} ; \dfrac{8}{9}\right) \text { hay } \overrightarrow{u_{d\prime }}=(14 ; 1 ; 8)
}$
PTCT của đường thẳng ${d\prime }$ đi qua ${A\prime (0 ; 0 ; 1)}$ và có VTCP ${\overrightarrow{u_{d\prime }}=(14 ; 1 ; 8)}$ có dạng:
${\dfrac{x}{14}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{8}}$