Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng...

Lấy $M\left( -1;1;0 \right)$, $N\left( 0;0;-2 \right)$ thuộc đường thẳng $\text{d}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \text{P} \right)$ có dạng $ax+by+cz+d=0, \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( P \right) \\
& N\in \left( P \right) \\
& \text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a+b+d=0 \\
& -2c+d=0 \\
& \dfrac{|a+b+c+d|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=-a+b \\
& d=2c \\
& \dfrac{|a+b+c+d|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
& \left| a+b+\dfrac{a-b}{2}+a-b \right|=\sqrt{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( \dfrac{a-b}{2} \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
& 5{{a}^{2}}-2ab-7{{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
& \left( a+b \right)\left( 5a-7b \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-b \\
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 5a=7b \\
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& a=-b \\
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
\end{aligned} \right. $. Chọn bộ số $ \left( a;b;c;d \right)=\left( 1;-1;1;2 \right)\Rightarrow $ $ \left( \text{P} \right)\text{:} x-y+z+2=0$.
Với $\left\{ \begin{aligned}
& 5a=7b \\
& 2c=a-b \\
& d=a-b \\
\end{aligned} \right. $. Chọn bộ số $ \left( a;b;c;d \right)=\left( 7;5;1;2 \right) $ $ \Rightarrow \left( \text{P} \right)\text{:} 7x+5y+z+2=0$.