Google
Câu hỏi: Trong không gian cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Từ điểm $A\left( 4;0;1 \right)$ nằm ngoài mặt cầu kẻ một tiếp tuyến bất kỳ đến $\left( S \right)$ với tiếp điểm $M$. Tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn có bán kính bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O'\left( 1;0;4 \right)$ và bán kính $R=O'M=3$.
Mặt khác $O'A=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{O'}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{O'}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{A}}-{{z}_{O'}} \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}$.
Mà $MA=\sqrt{O'{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=3$.
Tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $MI$.
Tam giác $O'AM$ vuông tại $M$ có $MI$ là đường cao nên $\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{MO{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}$.
Suy ra $MI=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn có bán kính bằng $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Mặt khác $O'A=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{O'}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{O'}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{A}}-{{z}_{O'}} \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}$.
Mà $MA=\sqrt{O'{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=3$.
Tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $MI$.
Tam giác $O'AM$ vuông tại $M$ có $MI$ là đường cao nên $\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{MO{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}$.
Suy ra $MI=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy tập hợp tất cả các điểm $M$ là đường tròn có bán kính bằng $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án B.