Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $AB=AD=2,CD=1,$ cạnh bên $SA=2$ và $SA$ vuông góc với...

Tứ giác $AECD$ có $AE//CD,AE=CD=1$ và $AD\bot AE$ nên tứ giác $AECD$ là hình chữ nhật do đó $CE\bot AB$
Lại có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CE$
$\Rightarrow CE\bot SE$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CE\bot SE \\
& CE\bot EB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CE\bot \left( SEB \right)$
Gọi $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ESB$.
Từ $E$ dựng đường thẳng $d$ song song với $CE\Rightarrow d\bot \left( SEB \right)$ do đó $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ESB.$
Gọi $M$ là trung điểm của $CE$
Trong mặt phẳng $\left( CE;d \right)$ dựng đường trung trực của đoạn thẳng $CE.$ Đường thẳng này cắt $d$ tại $I$.
Vì $I\in d$ nên $IE=IS=IB$
Vì $I$ thuộc đường trung trực của đoạn $CE$ nên $IC=IE$
$\Rightarrow IE=IS=IB=IC$
Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCE$.
Tứ giác $INEM$ là hình chữ nhật $\Rightarrow I{{E}^{2}}=I{{N}^{2}}+N{{E}^{2}}=M{{E}^{2}}+N{{E}^{2}}$
Xét tam giác $SEB$ có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=2\sqrt{2};SE=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}=\sqrt{5};BE=1$
$\cos \widehat{SEB}=\dfrac{S{{E}^{2}}+E{{B}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2.SE.EB}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin \widehat{SEB}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Theo định lí sin trong tam giác $SEB$ ta có $2EN=\dfrac{SB}{\sin \widehat{SEB}}\Rightarrow EN=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
Do đó $I{{E}^{2}}=E{{N}^{2}}+M{{E}^{2}}=E{{N}^{2}}+\dfrac{C{{E}^{2}}}{4}=\dfrac{14}{4}$
Vậy diện tích ${{S}_{mc}}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCE$ là ${{S}_{mc}}=4\pi .I{{E}^{2}}=14\pi .$