Trong khoảng $\left( -10;20 \right)$ có bao nhiêu giá trị $m$...

TXĐ: $D=\left( -1;+\infty \right)$.
Phương trình: $4x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]~$ $4x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1+m{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$.
Với $x=0$ thì pt $0=1$ (vô lí).
Với $x\ne 0$ thì pt $\left( 4x-m \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1$ $m=4x-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)},$ với $x\in \left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Đặt $f\left( x \right)=4x-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}$. với $x\in \left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.
${f}'\left( x \right)=4+\dfrac{1}{ln3~.\left( x+1 \right).{{\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)}^{2}}}>0$.
Ta có: $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-4~$ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $.
Bảng biến thiên:
Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: $m>-4$ $m\in Z$ và $m\in \left( -10;20 \right)$
$\Rightarrow $ $m\in \left\{ -3;-2;\ldots ;19 \right\}$. Có 23 giá trị nguyên tham số $m$.