Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $Oxyz$, lập phương trình đường vuông góc chung $\Delta $ của hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
Gọi: $\Delta \cap {{d}_{1}}=M$, $M\left( 1+t' ; 3-t' ; 2+2t' \right)$
$\Delta \cap {{d}_{2}}=N$, $N\left( -3t ; t ; -1-3t \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3t-1-t' ; t-3+t' ; -3-3t-2t' \right)$.
${{d}_{1}} , {{d}_{2}}$ lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1 ; -1 ; 2 \right) , \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -3 ; 1 ; -3 \right)$.
Vì $\Delta $ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}} ; {{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6t'-10t=4 \\
& 10t'+19t=-9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( 2 ; 2 ; 4 \right), N\left( 3 ; -1 ; 2 \right) , \overrightarrow{MN}=\left( 1 ; -3 ; -2 \right)$
Vậy phương trình $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
$\Delta \cap {{d}_{2}}=N$, $N\left( -3t ; t ; -1-3t \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3t-1-t' ; t-3+t' ; -3-3t-2t' \right)$.
${{d}_{1}} , {{d}_{2}}$ lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1 ; -1 ; 2 \right) , \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -3 ; 1 ; -3 \right)$.
Vì $\Delta $ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}} ; {{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6t'-10t=4 \\
& 10t'+19t=-9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( 2 ; 2 ; 4 \right), N\left( 3 ; -1 ; 2 \right) , \overrightarrow{MN}=\left( 1 ; -3 ; -2 \right)$
Vậy phương trình $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
Đáp án A.