Google
Câu hỏi: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|$. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức $z+2i.$
A. $\sqrt{5}$
B. $3\sqrt{5}.$
C. $3\sqrt{2}$
D. $3+\sqrt{2}$
A. $\sqrt{5}$
B. $3\sqrt{5}.$
C. $3\sqrt{2}$
D. $3+\sqrt{2}$
Gọi $z=x+yi;\left( x\in \mathbb{R};y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x+y-4=0\Leftrightarrow y=4-x.$
Ta có: ${{\left| z+2i \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( 6-x \right)}^{2}}=2{{x}^{2}}-12x+36=2{{\left( x-3 \right)}^{2}}+18\ge 18$
$\Rightarrow {{\left| z+2i \right|}_{\min }}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ khi $z=3+i.$
Ta có: $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x+y-4=0\Leftrightarrow y=4-x.$
Ta có: ${{\left| z+2i \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( 6-x \right)}^{2}}=2{{x}^{2}}-12x+36=2{{\left( x-3 \right)}^{2}}+18\ge 18$
$\Rightarrow {{\left| z+2i \right|}_{\min }}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ khi $z=3+i.$
Đáp án C.