Google
Câu hỏi: Trong các khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ $A$ đến $mp\left( SBC \right)$ bằng $2a$, khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
.
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách.
- Dùng hệ thức lượng trong tam giác.
- Sử dụng phương pháp tìm GTNN của hàm số.
Cách giải:
Gọi O= AC⋂ BD⇒ SO⊥ ( ABCD) .
Ta có: AO ⋂ ( SBC) = C⇒ $\dfrac{d\left( A;\left( SBA \right) \right)}{D\left( O;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{AC}{OC}=2$
$\Rightarrow d\left( O;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.2a=a$
Trong ( ABCD) kẻ OH ⊥ BC, trong ( SOH) kẻ OK⊥ SH, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OH \\
& BC\bot S0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot OK$
$\left\{ \begin{aligned}
& 0K\bot BC \\
& OK\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK=a$
Đặt độ dài cạnh đáy bằng 2 x( x> 0 ) ⇒ OH= x.
Xét ∆ SOH vuông tại O có đường cao OK :
$\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SO=\dfrac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Thể tích hình chóp: $V=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}.4{{x}^{2}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}.a}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Ta có: $V'=\dfrac{4}{3}\left( \dfrac{3a{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}.a{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)$
$\Leftrightarrow V'=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3a{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)-a{{x}^{4}}}{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{2a{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Cho $V'=0\Leftrightarrow 2a{{x}^{4}}-3{{a}^{3}}{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}a\left( 2{{x}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \left( loai \right) \\
& x=a\sqrt{\dfrac{3}{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${{V}_{\min }}=V\left( a\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right)=2\sqrt{3{{a}^{3}}}$
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách.
- Dùng hệ thức lượng trong tam giác.
- Sử dụng phương pháp tìm GTNN của hàm số.
Cách giải:
Gọi O= AC⋂ BD⇒ SO⊥ ( ABCD) .
Ta có: AO ⋂ ( SBC) = C⇒ $\dfrac{d\left( A;\left( SBA \right) \right)}{D\left( O;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{AC}{OC}=2$
$\Rightarrow d\left( O;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.2a=a$
Trong ( ABCD) kẻ OH ⊥ BC, trong ( SOH) kẻ OK⊥ SH, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OH \\
& BC\bot S0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot OK$
$\left\{ \begin{aligned}
& 0K\bot BC \\
& OK\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK=a$
Đặt độ dài cạnh đáy bằng 2 x( x> 0 ) ⇒ OH= x.
Xét ∆ SOH vuông tại O có đường cao OK :
$\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SO=\dfrac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Thể tích hình chóp: $V=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}.4{{x}^{2}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}.a}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Ta có: $V'=\dfrac{4}{3}\left( \dfrac{3a{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}.a{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)$
$\Leftrightarrow V'=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3a{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)-a{{x}^{4}}}{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{2a{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
Cho $V'=0\Leftrightarrow 2a{{x}^{4}}-3{{a}^{3}}{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}a\left( 2{{x}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \left( loai \right) \\
& x=a\sqrt{\dfrac{3}{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${{V}_{\min }}=V\left( a\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right)=2\sqrt{3{{a}^{3}}}$
Đáp án C.