Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+4az+{{b}^{2}}+2=0\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$ Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;b \right)$ sao cho phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i.{{z}_{2}}=3+3i$ ?
A. $2$
B. $4$
C. $1$
D. $3$
A. $2$
B. $4$
C. $1$
D. $3$
TH1: PT có hai nghiệm thực phân biệt
Khi đó ${{z}_{1}}=3;{{z}_{2}}=\dfrac{3}{2}.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 9+12a+{{b}^{2}}+2=0 \\
& \dfrac{9}{4}+6a+{{b}^{2}}+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{9}{8} \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{9}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
TH2: PT có hai nghiệm phức phân biệt
Khi đó $\Delta '<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2<0$
Theo định lí Viet, ta có:
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{z}_{2}}=\dfrac{3+4a+3i}{-1+2i}$ ; ${{z}_{1}}=-4a-{{z}_{2}}=\dfrac{-3-\left( 8a+3 \right)i}{-1+2i}$
Thay ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ vào tích ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2$ ta được:
$\dfrac{(3+4 a)+3 i}{-1+2 i} \cdot \dfrac{-3-(8 a+3) i}{-1+2 i}=b^{2}+2$
$\Leftrightarrow 12 a+\left(-32 a^{2}-36 a-18\right) i=5\left(b^{2}+2\right)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}12 a=5\left(b^{2}+2\right) \\ -32 a^{2}-36 a-18=0(p t v n)\end{array}\right.$
Vậy có hai bộ số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn ycbt.
Khi đó ${{z}_{1}}=3;{{z}_{2}}=\dfrac{3}{2}.$ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 9+12a+{{b}^{2}}+2=0 \\
& \dfrac{9}{4}+6a+{{b}^{2}}+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{9}{8} \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{9}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
TH2: PT có hai nghiệm phức phân biệt
Khi đó $\Delta '<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2<0$
Theo định lí Viet, ta có:
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{z}_{2}}=\dfrac{3+4a+3i}{-1+2i}$ ; ${{z}_{1}}=-4a-{{z}_{2}}=\dfrac{-3-\left( 8a+3 \right)i}{-1+2i}$
Thay ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ vào tích ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2$ ta được:
$\dfrac{(3+4 a)+3 i}{-1+2 i} \cdot \dfrac{-3-(8 a+3) i}{-1+2 i}=b^{2}+2$
$\Leftrightarrow 12 a+\left(-32 a^{2}-36 a-18\right) i=5\left(b^{2}+2\right)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}12 a=5\left(b^{2}+2\right) \\ -32 a^{2}-36 a-18=0(p t v n)\end{array}\right.$
Vậy có hai bộ số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn ycbt.
Đáp án A.