Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+4m-3=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8$ ?
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Ta có $\Delta^{\prime}=m^{2}-4 m+3$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'\ne 0$. Nên để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8$ ta xét hai trường hợp:
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right. $, trong trường hợp này $ {{z}_{1}} $, $ {{z}_{2}} $ là hai nghiệm thực nên $ \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m+3>0 \\
& {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right) \\
& {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 3;+\infty \right) \\
& 4{{m}^{2}}-2\left( 4m-3 \right)+2.\left| 4m-3 \right|=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 3;+\infty \right) \\
& 4{{m}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} m=4$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'<0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m+3<0 \\
& \left| m+i\sqrt{-{{m}^{2}}+4m-3} \right|+\left| m-i\sqrt{-{{m}^{2}}+4m-3} \right|=8 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 1;3 \right) \\
& 2\sqrt{{{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}+4m-3 \right)}=8 \\
\end{aligned} \right.\overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Rightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& \sqrt{5}=4 \\
\end{aligned} \right. $, nên không tồn tại số nguyên dương $ m$ trong trường hợp này.
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right. $, trong trường hợp này $ {{z}_{1}} $, $ {{z}_{2}} $ là hai nghiệm thực nên $ \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m+3>0 \\
& {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right) \\
& {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 3;+\infty \right) \\
& 4{{m}^{2}}-2\left( 4m-3 \right)+2.\left| 4m-3 \right|=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 3;+\infty \right) \\
& 4{{m}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Leftrightarrow }} m=4$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'<0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m+3<0 \\
& \left| m+i\sqrt{-{{m}^{2}}+4m-3} \right|+\left| m-i\sqrt{-{{m}^{2}}+4m-3} \right|=8 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( 1;3 \right) \\
& 2\sqrt{{{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}+4m-3 \right)}=8 \\
\end{aligned} \right.\overset{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}{\mathop{\Rightarrow }} \left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& \sqrt{5}=4 \\
\end{aligned} \right. $, nên không tồn tại số nguyên dương $ m$ trong trường hợp này.
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Đáp án D.