Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+4m-3=0$ ( $m$ là...

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-4m+3$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'\ne 0$. Ta xét hai trường hợp
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. $ theo giả thiết thì $ \left\{ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right) $. Với (*) khi đó $ {{z}_{1}}, {{z}_{2}} $ là hai nghiệm thực nên $ \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|= 8\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}} = 64\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=64 $ $ 4{{m}^{2}}-2\left( 4m-3 \right)+2\left| 4m-3 \right|=64 $ $ \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=64\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-4\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 1<m<3$ mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=2$ thay vào phương trình ta có ${{z}^{2}}-4z+5=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}=2+i, {{z}_{2}}=2-i$. Khi đó $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$ không thỏa mãn Vậy có một giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán