Trên tập hợp số phức, xét phương trình...

Ta có: ${\Delta }'={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+20$, $a, b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên theo Viet: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}-20 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: ${\Delta }'>0$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in \mathbb{R}$
Theo bài ra: ${{z}_{1}}+3i{{z}_{2}}=7+5i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=7 \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a=7+\dfrac{5}{3}\Rightarrow a=\dfrac{13}{3}$ (không thoả mãn).
TH2: ${\Delta }'<0$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$
Giả sử ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$ theo bài ra ta có:
${{z}_{1}}+3i{{z}_{2}}=7+5i\Leftrightarrow x+yi+3i(x-yi)=7+5i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+3y=7 \\
& 3x+y=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{z}_{1}}=1+2i, {{z}_{2}}=1-2i$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2 \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=2 \\
& {{b}^{2}}-20=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.$ ( thỏa mãn)
Vậy $7a+5b=7.1+5.5=32$