Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2}-\sqrt{m+1}...

Điều kiện $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$. $\Delta ={{m}^{2}}-4m-5$
+ Trường hợp 1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-5\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 5 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right. $ phương trình có 2 nghiệm thực $ z_{1}, z_{2}$
Theo định lý Viet ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=-\dfrac{1}{4}\left( {{m}^{2}}-5m-6 \right)$.
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}\le {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow 4{{z}_{1}}.{{z}_{2}}\le 0$ $-\left( {{m}^{2}}-5m-6 \right)\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m-6\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 6 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}$ và $m \in[-10 ; 10]$ nên số giá trị m thỏa mãn là $\left( 10-6 \right)+1+1=6$.
+ Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-5<0\Leftrightarrow -1<m<5$.
phương trình có 2 nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}\le {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow m+1\le \left| {{m}^{2}}-4m-5 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m-6\ge 0 \\
& {{m}^{2}}-3m-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 6 \\
& m\le -1 \\
& -1\le m\le 4 \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}$, $-1<m<5$ và $m \in[-10 ; 10]$ nên số giá trị m thỏa mãn là $m=0,\ m=1,m=2,m=3$.
Vậy có 10 giá trị của m.