Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2}-\sqrt{m+1}...

Điều kiện $m+1\ge 0\iff m\ge -1$. $\mathrm{\Delta }=m^2-4m-5$
+ Trường hợp 1: $\mathrm{\Delta }\ge 0\iff m^2-4m-5\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& m\ge 5\\ & m\le -1\end{array}$ phương trình có 2 nghiệm thực $z_1,z_2$
Theo định lý Viet $z_1.z_2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(m^2-5m-6)$.
$|z_1+z_2|\le |z_1-z_2|\iff {|z_1+z_2|}^2\le {|z_1-z_2|}^2\iff 4z_1.z_2\le 0$ $-(m^2-5m-6)\le 0\iff m^2-5m-6\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& m\ge 6\\ & m\le -1\end{array}$
Do $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-10;10]$ nên số giá trị m thỏa mãn là $(10-6)+1+1=6$.
+ Trường hợp 2: $\mathrm{\Delta }<0\iff m^2-4m-5<0\iff -1<m<5$.
phương trình có 2 nghiệm phức $z_1,z_2$
$|z_1+z_2|\le |z_1-z_2|\iff {|z_1+z_2|}^2\le {|z_1-z_2|}^2\iff m+1\le |m^2-4m-5|\iff [\begin{array}{rl}& m^2-5m-6\ge 0\\ & m^2-3m-4\le 0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m\ge 6\\ & m\le -1\\ & -1\le m\le 4\end{array}$
Do $m\in \mathbb{Z}$, $-1<m<5$ và $m\in [-10;10]$ nên số giá trị m thỏa mãn là $m=0,m=1,m=2,m=3$.
Vậy có 10 giá trị của m.