Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ ( $a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
Ta có $\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)=-3{{a}^{2}}-10a+9$.
TH1: $\Delta \ge 0$, khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ khi phương trình có nghiệm bằng $0$, hay ${{a}^{2}}+a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
TH2: $\Delta <0$, khi đó ${{Z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm i\sqrt{3{{a}^{2}}+10a-9}}{2}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
TH1: $\Delta \ge 0$, khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ khi phương trình có nghiệm bằng $0$, hay ${{a}^{2}}+a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
TH2: $\Delta <0$, khi đó ${{Z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm i\sqrt{3{{a}^{2}}+10a-9}}{2}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn).
Đáp án C.