Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^2-2({\text{m}}+1)...

Cách 1. Ta có ${\Delta\prime =({m}+1)^2-{m}^2=2 {\text{m}}+1}$.
Nếu ${\Delta\prime =0 \Leftrightarrow {m}=-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có nghiệm ${{z}_1={z}_2=\dfrac{1}{2}}$ (không thỏa mãn).
Nếu ${\Delta\prime >0 \Leftrightarrow {m}>-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_1={m}+1+\sqrt{2 {\text{m}}+1}}$ và ${{z}_2={m}+1-\sqrt{2 {\text{m}}+1}}$
Trường hợp 1. ${\left|z_1\right|=5 \Leftrightarrow m+1+\sqrt{2 m+1}=5 \Leftrightarrow \sqrt{2 m+1}=4-m \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4-m \geq 0 \\ 2 m+1=(4-m)^2\end{array}\right.}$
${
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ { m } \leq 4 } \\
{ 2 { m } + 1 = ( 4 - { m } ) ^ { 2 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ { m } \leq 4 } \\
{ { m } ^ { 2 } - 1 0 { m } + 1 5 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
{m} \leq 4 \\
{\left[\begin{array}{l}
{m}=5+\sqrt{10} \\
{\text{m}}=5-\sqrt{10}
\end{array} \Leftrightarrow {m}=5-\sqrt{10}\right.} \\
{m}={l}^2
\end{array}\right.\right.\right.
}$
Trường hợp 2. ${\left|z_2\right|=5 \Leftrightarrow|m+1-\sqrt{2 m+1}|=5 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m+1-\sqrt{2 m+1}=5 \\ m+1-\sqrt{2 m+1}=-5\end{array}\right.}$
${{m}+1-\sqrt{2 {\text{m}}+1}=5 \Leftrightarrow \sqrt{2 {\text{m}}+1}={m}-4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m} \geq 4 \\ 2 {\text{m}}+1=({m}-4)^2\end{array}\right.}$
${\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m} \geq 4 \\ {\text{m}}^2-10 {\text{m}}+15=0\end{array} \Leftrightarrow {m}=5+\sqrt{10}\right.}$
${{m}+1-\sqrt{2 {\text{m}}+1}=-5 \Leftrightarrow \sqrt{2 {\text{m}}+1}={m}+6 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m} \geq-6 \\ 2 {\text{m}}+1=({m}+6)^2\end{array}\right.}$
${\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \geq-6 \\ m^2+10 m+35=0\end{array}\right.}$ (vô nghiệm).
Nếu ${\Delta\prime <0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình ban đầu có hai nghiệmphức ${z_1, z_2}$ và ${\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=5}$
Theo giả thiết, ta có ${\left|z_1 \cdot z_2\right|=\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right|=25 \Leftrightarrow m^2=25 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=5 & \text { (Loai) } \\ & m=-5\end{array}\right.}$.
Vậy có 3 giá trị của tham số ${{m}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Đặt ${{z}_0={x}+{yi}({x}, {y} \in \mathbb{R})}$ là nghiệm của phương trình ban đầu.
Theo giả thiết, ta có ${\left|z_0\right|=5 \Leftrightarrow x^2+y^2=25(1)}$.
Thay ${{Z}_0}$ vào phương trình ban đầu, ta có
${
(x+y i)^2-2(m+1)(x+y i)+m^2=0 \Leftrightarrow\left(x^2-y^2-2 m x-2 x+m^2\right)+(2 x y-2 m y-2 y) i=0
}$
${
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 2 m x - 2 x + m ^ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x y - 2 m y - 2 y = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x^2-y^2-2 m x-2 x+m^2=0 \\
y(x-m-1)=0
\end{array}\right.\right.
}$
${(3) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{y}=0 \\ {x}={m}+1\end{array}\right.}$
Trường hợp 1 . Với ${{y}=0 \Rightarrow(1) \Leftrightarrow {x}^2=25 \Leftrightarrow {x}=\pm 5}$.
Nếu ${x=5 \Rightarrow(2) \Leftrightarrow m^2-10 m+15=0 \Leftrightarrow m=5 \pm \sqrt{10}}$
Nếu ${x=-5 \Rightarrow(2) \Leftrightarrow m^2+10 m+35=0}$ (vô nghiệm).
Trường hợp 2. ${x=m+1 \Rightarrow(1) \Leftrightarrow y^2=25-(m+1)^2(-6 \leq m \leq 4)}$.
${(2) \Leftrightarrow(m+1)^2-25+(m+1)^2-2 m(m+1)-2(m+1)+m^2=0 \Leftrightarrow m^2-25=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-5 \\ m=5(L)\end{array}\right.}$
Vậy có 3 giá trị của tham số ${m}$ thỏa mãn.