Trên tập hợp các số phức, xét phương trình...

Ta có: ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0\left( * \right)$ thì ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>6 \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right. $.
Khi đó phương trình $ \left( * \right) $ có $ 2 $ nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $ và theo yêu cầu bài toán: $ \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}}\left( KTM \right) \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow m=0\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2<m<6$. Phương trình $\left( * \right)$ khi đó có $2$ nghiệm ${{z}_{1,2}}=m\pm i\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}$ luôn thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$. Nên: $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$.
Vậy các giá trị $m$ thỏa mãn là: $m\in \left\{ 0;3;4;5 \right\}$.