Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-4az+{{b}^{2}}+2=0$ ( $a$, $b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ ?
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
Phương trình ${{z}^{2}}-4az+{{b}^{2}}+2=0\left( * \right)$ là phương trình bậc hai có ${\Delta }'=4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2$.
Trường hợp ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2<0\left( 1 \right)$
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phức là ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp.
Giả sử ${{z}_{1}}=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$, suy ra ${{z}_{2}}=x-yi$.
Ta có ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i\Leftrightarrow x+yi+2i\left( x-yi \right)=3+3i$
$\Leftrightarrow x+2y+\left( 2x+y \right)i=3+3i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y=3 \\
& 2x+y=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{z}_{1}}=1+i$ và ${{z}_{2}}=1-i$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 1+i \right)+\left( 1-i \right)=4a \\
& \left( 1+i \right)\left( 1-i \right)={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=4a \\
& 2={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn (1)).
Trường hợp ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2\ge 0\left( 2 \right)$
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm thực là ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Ta có ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{2}=4a \\
& \dfrac{9}{2}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{2}=4a \\
& \dfrac{5}{2}={{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{9}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn (2)).
Vậy có ba cặp số thực $\left( a;b \right)$ thỏa mãn bài toán là $\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$, $\left( \dfrac{9}{8};-\dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)$ và $\left( \dfrac{9}{8};\dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)$.
Trường hợp ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2<0\left( 1 \right)$
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phức là ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp.
Giả sử ${{z}_{1}}=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$, suy ra ${{z}_{2}}=x-yi$.
Ta có ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i\Leftrightarrow x+yi+2i\left( x-yi \right)=3+3i$
$\Leftrightarrow x+2y+\left( 2x+y \right)i=3+3i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y=3 \\
& 2x+y=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{z}_{1}}=1+i$ và ${{z}_{2}}=1-i$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 1+i \right)+\left( 1-i \right)=4a \\
& \left( 1+i \right)\left( 1-i \right)={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=4a \\
& 2={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn (1)).
Trường hợp ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2\ge 0\left( 2 \right)$
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm thực là ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Ta có ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{2}=4a \\
& \dfrac{9}{2}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{2}=4a \\
& \dfrac{5}{2}={{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{9}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn (2)).
Vậy có ba cặp số thực $\left( a;b \right)$ thỏa mãn bài toán là $\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$, $\left( \dfrac{9}{8};-\dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)$ và $\left( \dfrac{9}{8};\dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)$.
Đáp án A.